Задача 110324

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Отношение объемов ] [ Подобие ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

На боковом ребре пирамиды взяты две точки, делящие ребро на три равные части. Через них проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объём части пирамиды, заключённой между этими плоскостями, если объём всей пирамиды равен 1.

Решение

Пусть точки A1 и A2 лежат на боковом ребре AD треугольной пирамиды ABCD с вершиной D , причём DA1 = A1A2 = A2A , плоскость, проходящая через точку A1 параллельно плоскости ABC пересекает боковые рёбра BD и BC соответственно в точках B1 и C1 , а плоскость, проходящая через точку A2 параллельно плоскости ABC , – в точках B2 и C2 . Тогда пирамида DA1B1C1 подобна данной пирамиде DABC с коэффициентом = , поэтому

V_DA1B1C1 = ()3· V_DABC = .
Пирамида DA2B2C2 подобна данной пирамиде DABC с коэффициентом = , поэтому
V_DA2B2C2 = ()3· V_DABC = .
Следовательно,
V_A1B1C1A2B2C2 = V_DA2B2C2 - V_DA1B1C1 = - = .
Аналогично для случая произвольной n -угольной пирамиды.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8457