Условие
На доске был нарисован четырехугольник, в
который можно вписать и около которого можно описать окружность. В
нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых,
соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам
четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и
линейки.
Решение
Построение основано на двух леммах.
1. Диагонали всех четырехугольников, вписанных в данную окружность с центром
O и описанных около данной окружности с центром
I , пересекаются в одной и
той же точке
L , лежащей на продолжении отрезка
OI за точку
I .
2. Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на прямой, соединяющей
середины его диагоналей (Теорема Монжа).
Отметим также, что в любом четырехугольнике точка
M пересечения
прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит пополам
отрезок между серединами диагоналей.
Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого четырехугольника лежат на
окружности с диаметром
OL . Отсюда и из леммы 2 получаем, что точка
M лежит
на окружности, диаметрально противоположными точками которой являются
I и
середина
OL . Поэтому, проведя через
M прямую, перпендикулярную
IM , и
найдя точку ее пересечения с
OI , мы получим середину
OL , а значит, и саму
точку
L . Далее, построив окружность с диаметром
OL и найдя ее точки
пересечения с прямой
MI , получим середины диагоналей четырехугольника. Кроме
того, рассмотрев четырехугольник, две вершины которого лежат на прямой
OI ,
нетрудно убедиться, что для третьей вершины
X XI – биссектриса угла
OXL (рис.10.6). Это дает возможность восстановить описанную окружность
четырехугольника и найти его вершины, как точки пересечения этой окружности с
диагоналями.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2006 |
|
Класс |
|
Класс |
10 |
|
задача |
|
Номер |
106 |
