Задача 111136

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Свойства сечений ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны a , b и c ( a < b < c) . Некоторое его сечение является квадратом. Найдите сторону этого квадрата.

Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , в котором AB = a , AD = b , AA1 = c , причём a < b < c . Через вершину A проведём плоскость, параллельную плоскости сечения, являющегося кадратом. Пусть проведённая плоскость пересекает прямые BB1 , CC1 и DD1 соответственно в точках K , L и M . Тогда AKLM – квадрат, равный квадрату сечения. Обозначим через x сторону квадрата. Тогда KM = x . Из прямоугольных треугольников ABK и ADM находим, что

BK = = ,

DM = = .
Пусть K1 – ортогональная проекция точки K на прямую DD1 . Тогда
MK2 = |DM - BK|2 + BD2,
или
2x2 = | - |2 + a2 + b2,
откуда следует, что x = a или x = b . Проведя плоскость, параллельную данному сечению, через вершину B , аналогично получим, что x = a или x = c . Пусть x = a . Возьмём на ребрах AD и AA1 соответственно точки P и Q , для которых PQ = a (это можно сделать, т.к. a < b ). Тогда сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P и Q параллельно ребру AB , есть квадрат со стороной a . Аналогично строится секущая плоскость для x = b . Пусть x = c и при этом c . Тогда секущая плоскость строится также аналогично. Если же c > , то в сечении параллелепипеда плоскостью не может получиться квадрат со стороной c .

Ответ

a или b или c , если c ; a или b , если c > .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8328