|
|
 |
Условие
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и M соответственно так, что KM || AC. Отрезки AM и KC пересекаются в точке O. Известно, что AK = AO и KM = MC. Докажите, что AM = KB.
Решение
Пусть ∠AKO = ∠AOK = ∠MOC = α, ∠MKC = ∠MCK = ∠ACO = β (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. В треугольниках KCA и OCM две пары соответственно равных углов, поэтому и третьи углы равны: ∠CAK = ∠CMO = ∠AMC. Заметим, что ∠MKB = ∠CAK и ∠ACM = ∠KMB. Значит, треугольники AMC и BKM равны по стороне и двум углам. Следовательно, AM = KB.
Второй способ. Лучи CA и CB симметричны относительно биссектрисы CK угла C. Значит, точка D, симметричная B относительно этой биссектрисы, лежит на луче CA (рис. справа). ∠KAM = ∠KAO = 180° – 2α, ∠DKA = ∠DKC – α = ∠BKC – α = 180° – 2α. Следовательно, DK || AM. Значит, DKMA – параллелограмм и BM = DK = AM.
