Задача 111336

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Процессы и операции ] [ Сочетания и размещения ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Горбачев А.Н.

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

Решение

Докажем, что среди 500-значных чисел найдётся искомое. Если 500-значное число усложнить 100 раз, получится 600-значное число. Существует менее 7·10²⁹⁹  600-значных полных квадратов  ((3·10²⁹⁹)² < 10⁵⁹⁹).  Зафиксируем k – один из этих квадратов. Количество чисел, из которых его можно получить описанной в условии операцией, не превосходит количества способов зачеркнуть в нем 100 цифр, то есть    Таким образом, общее количество 500-значных чисел, из которых может быть получен полный квадрат, не превосходит  7·10²⁹⁹·2⁶⁰⁰ < 7·10²⁹⁹·8²⁰⁰ < 9·10⁴⁴⁹,  то есть меньше количества 500-значных чисел.

Ответ

Существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	71
Год	2008
вариант
Класс	9
задача
Номер	4