Задача 115656

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Средняя линия треугольника ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD взята такая точка P, что  ∠PBA = ∠PCD = 90°.  Точка M – середина стороны AD, причём  BM = CM.
Докажите, что  ∠PAB = ∠PDC.

Решение

Пусть K и L – середины отрезков AP и DP соответственно. Тогда четырёхугольник KPLM – параллелограмм, а так как BK и CL – медианы прямоугольных треугольников ABP и DCP, проведённые из вершин прямых углов, то   BK = ½ AP = KP = ML,  CL = ½ DP = LP = KM,  значит, треугольники BKM и MLC равны по трём сторонам. Тогда  ∠BKM = ∠MLC,  или  ∠BKP + ∠PKM = ∠CLP + ∠MLP,  а так как  ∠PKM = ∠MLP,  то ∠BKP = ∠CLP.  Следовательно,  ∠PAB = ∠KAB = ½ ∠BKP = ½ ∠CLP = ∠PDC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6624