Задача 115676

Темы:    [ Необычные построения (прочее) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Имеется инструмент для геометрических построений на плоскости ("угольник"), позволяющий делать следующее:
а) если даны две точки, то можно провести проходящую через них прямую;
б) если дана прямая и точка на ней, то можно восставить перпендикуляр к этой прямой в данной точке.
Как с помощью этого инструмента опустить перпендикуляр из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?

Решение

Пусть A — данная точка, l — данная прямая, не проходящая через точку A . Возьмём на прямой l точки B и C , проведём прямые AB и AC и восставим к ним перпендикуляры в точках B и C соответственно. Пусть эти перпендикуляры пересекаются в точке D . Докажем, что проекции A' и D' точек A и D на прямую BC симметричны относительно середины M отрезка BC .
Действительно, из точек B и C отрезок AD виден из под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD . Проекция M центра O этой окружности на хорду BC — середина BC , а т.к. M — проекция середины O диаметра AD , то M — середина проекции A'D' этого диаметра на BC . Что и требовалось доказать.
Продолжим построение. Построим произвольный прямугольник BCEF и повторим для отрезка EF и точки D первоначальное построение, т.е. восставим перпендикуляры в точках E и F к прямым DE и DF . Пусть эти перпендикуляры пересекутся в точке G . Тогда проекции D'' и G' точек D и G на прямую EF симметричны относительно середины N отрезка EF . Через точки A и G проведём прямую и докажем, что эта прямая — искомая.
Действительно, G'N=D"N=MD'=A'M , следовательно, точки A , A' , G' и G лежат на одной прямой и эта прямая перпендикулярна данной прямой l .


Известно, что если на плоскости даны две параллельные прямые, то можно через любую точку плоскости провести параллельную им прямую с помощью одной линейки. В нашем случае в качестве линейки используется "угольник".
Пусть A — данная точка, l — данная прямая, не проходящая через точку A . Возьмём на прямой l точки B и C , восставим в них перпендикуляры к прямой l . Получим две параллельные прямые. Через точку A проведём параллельную им третью прямую. Это и будет перпендикуляр к прямой l , проходящий через точку A .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2567