Задача 115734

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Мякишев А.Г.

Имеются две параллельные прямые p₁ и p₂. Точки A и B лежат на p₁, а C – на p₂. Будем перемещать отрезок BC параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники ABC, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:
  а) точками пересечения высот;
  б) точками пересечения медиан;
  в) центрами описанных окружностей.

Решение

  а) Очевидно, получается прямая, перпендикулярная BC и проходящая через вершину A.

  б) Ответом будет прямая, параллельная данным прямым и делящая отрезок с концами на этих прямых в отношении  1 : 2,  считая от p₁ (рис. справа). В самом деле, если отрезок BC движется с постоянной скоростью, то и его середина движется с постоянной скоростью. Точка пересечения медиан делит отрезок, соединяющий вершину А с серединой ВС, в постоянном отношении  2 : 1  и, следовательно, также будет двигаться с постоянной скоростью по указанной прямой.

  в) Первый способ. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB и BC также движутся с постоянными скоростями. Значит, и точка их пересечения (центр описанной окружности) будет перемещаться по прямой (рис. слева).

  Второй способ. Рассмотрим отрезок AC₀ (в который вырождается треугольник при совпадении точек A и B) и симметричный ему относительно перпендикуляра, опущенного на p₂ из точки A, отрезок AK. Тогда ABCK – равнобокая трапеция, следовательно, точка K лежит на описанной окружности треугольника ABC (рис. справа). Значит, точка O лежит на серединном перпендикуляром к отрезку AK.

Ответ

Во всех случаях получится прямая с выколотой точкой, которая соответствует случаю, когда треугольник вырождается в отрезок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2005
тур
задача
Номер	5