Задача 115860

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Pohoata C.

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Решение

  Пусть Ω – описанная окружность треугольника ABC, O – её центр, R – её радиус.

  Первый способ. Когда прямые d_a, d_b, d_c вращаются вокруг вершин треугольника, симметричные прямые вращаются с той же скоростью вокруг точек, симметричных вершинам относительно противоположных сторон. Поэтому, во-первых, углы треугольника XYZ не зависят от выбора прямых d_a, d_b, d_c, так что все эти треугольники подобны, во-вторых, точки X, Y, Z движутся с одинаковыми угловыми скоростями по трём окружностям. Значит, центр вписанной окружности тоже движется по некоторой окружности, и достаточно найти три ее точки.
  Возьмём прямые d_a, d_b совпадающими с прямой AB. Пусть A', B' – точки, симметричные A, B относительно противоположных сторон треугольника. Тогда Z – точка пересечения прямых AB' и BA', а Y и X – точки пересечения этих прямых с прямой, параллельной AB и лежащей вдвое дальше от точки C. Заметим, что точки C и O равноудалены от прямых AB' и BA', то есть биссектриса угла XZY совпадает с прямой CO. Кроме того, нетрудно видеть, что биссектрисы углов ZXY и ZYX перпендикулярны AC и BC соответственно.
  Рассмотрим проекции точки O и центра вписанной в треугольник XYZ окружности на прямую AC. Точка O проецируется в середину AC. Туда же проецируется точка пересечения прямых AB' и d_c, поскольку углы, образованные этими прямыми с AC, равны. Значит, X и центр вписанной окружности проецируются в точку, симметричную середине AC относительно A (см. рис.). Следовательно, расстояние от O до центра вписанной окружности равно 2R. Взяв прямые d_a, d_b, d_c параллельными другим сторонам ABC, получим тот же результат. Следовательно, искомое ГМТ – окружность, концентричная Ω, но вдвое большего радиуса.

  Второй способ. Так как прямые XY, YZ, ZX вращаются с постоянной скоростью, вершина X треугольника XYZ описывает окружность с хордой B'C', а биссектриса угла YXZ вращается вокруг середины W_a дуги B'C' также с постоянной скоростью. Аналогично, биссектрисы углов Y и Z вращаются вокруг середин W_b, W_c соответствующих дуг A'C' и A'B'.
  Таким образом центр I вписанной окружности одновременно движется по описанным окружностям треугольников IW_aW_b, IW_bW_c и IW_cW_a. Значит, эти окружности совпадают, и искомым ГМТ будет описанная окружность треугольника W_aW_bW_c.
  Покажем, что каждая из точек W_a, W_b, W_c лежит на расстоянии 2R от O. Рассмотрим, например, точку W_a. Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC, O_a – центр описанной окружности треугольника AH_bH_c, O' – точка, симметричная O относительно BC, M_a – середина BC. Треугольники BCO', H_bH_cO_a и B'C'W_a подобны (они все равнобедренные с углом 2C при вершине), вырожденные треугольники BH_bB₁ и CH_cC₁ также подобны, следовательно, они подобны и "треугольнику" O'O_aW_a, то есть M_aO_a – средняя линия треугольника O'OW_a. Так как отрезок M_aO_a – диаметр окружности Эйлера, то его длина равна R.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.4