Задача 115944

Темы:    [ Ортоцентрический тетраэдр ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В тетраэдре одна из высот пересекает две другие. Докажите, что все высоты пересекаются в одной точке.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны, то все высоты тетраэдра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Действительно, пусть в тетраэдре ABCD известно, что AB CD , AC BD и BC AD , а DD1 — высота тетраэдра (рис.1). Тогда прямая CD1 — ортогональная проекция наклонной CD к плоскости основания ABC , а т.к. CD AB , то по теореме о трёх перпендикулярах CD1 AB . Аналогично, AD1 BC , значит, D1 — точка пересечения высот треугольника ABC .
Аналогично докажем, что остальные высоты тетраэдра также проходят через точки пересечения высот граней тетраэдра.
Пусть AA1 — высота тетраэдра, а плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые AD и DD1 , пересекает прямую BC в точке M . Тогда AM — высота треугольника ABC , а DM — высота треугольника BDC (теорема о трёх перпендикулярах), значит, прямая DM проходит через точку пересечения высот треугольника BDC , т.е. через точку A1 . Поэтому прямые AA1 и DD1 лежат в одной плоскости, и значит, пересекаются.
Аналогично докажем, что две любые высоты тетраэдра ABCD пересекаются. При этом все четыре высоты не лежат в одной плоскости, иначе в одной плоскости лежали бы точки A , B , C и D . Следовательно, прямые AA1 , BB1 , CC1 и DD1 пересекаются в одной точке.
Перейдём к нашей задаче (рис.2). Пусть высота DD1 тетраэдра ABCD пересекается с высотами AA1 и BB1 , а плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые DD1 и AA1 , пересекает прямую BC в точке M . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах AM BC , т.е. AM — высота треугольника ABC . Аналогично докажем, что если плоскость, проведённая через пересекающиеся прямые DD1 и BB1 , пересекает прямую AC в точке N , то BN — также высота треугольника ABC , а т.к. прямые AM и BN пересекаются в точке D1 , то D1 — точка пересечения высот треугольника ABC . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах противоположные рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны. Из доказанного ранее утверждения следует, что все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7317