Задача 116882

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Решение

  10²⁰ – 2²⁰ = 2²⁰·5²⁰ – 2²⁰ = 2²⁰·(5²⁰ – 1). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. 5²⁰ – 1 = (5¹⁰ – 1)(5¹⁰ + 1) = (5⁵ – 1)(5⁵ + 1)(25⁵ + 1) =
     = (5 – 1)(5⁴ + 5³ + 5² + 5 + 1)(5 + 1)(5⁴ – 5³ + 5² – 5 + 1)(25 + 1)(25⁴ – 25³ + 25² – 25 + 1) =
     = 2⁴·(5⁴ + 5³ + 5² + 5 + 1)·3·(5⁴ – 5³ + 5² – 5 + 1)·13·(25⁴ – 25³ + 25² – 25 + 1).
  Последние пять множителей – нечётные.

  Второй способ.  5²⁰ – 1 = (1 + 4)²⁰ – 1 = 1 + 20·4 + + ...+ 4²⁰ – 1 = 5·2⁴ + 10·19·2⁴ + ... + 4²⁰.
  В полученной сумме первое слагаемое делится только на 2⁴, а каждое из остальных – хотя бы на 2⁵. Значит, число  5²⁰ – 1  делится на 2⁴, но не на 2⁵.

Ответ

На 2²⁴.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1.3