|
|
 |
Условие
Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?
Решение
Обозначим дома буквами A, B, C, D в порядке их следования по окружности. Предположим, колодец вырыт в точке O. Из неравенства треугольника следует, что OA + OC ≥ AC, причём равенство достигается только тогда, когда точка O принадлежит отрезку AC. Аналогично OB + OD ≥ BD, причём равенство имеет место только тогда, когда O лежит на отрезке BD. Складывая, получим OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD. Равенство выполняется только тогда, когда O – точка пересечения отрезков AC и BD.
Ответ
В точке пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого являются дома.
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко. "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
