Задача 34849

Темы:    [ Модуль числа ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найдите максимальное значение выражения  |...||x₁ – x₂| – x₃| – ... – x₁₉₉₀|,  где x₁, x₂, ..., x₁₉₉₀ – различные натуральные числа от 1 до 1990.

Подсказка

Модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума.

Решение

  Оценка. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому  |x₁ – x₂| ≤ max{x₁, x₂},
||x₁ - x₂| – x₃| ≤ max{x₁, x₂, x₃},  |...||x₁ – x₂| – x₃| – ... – x₁₉₉₀| ≤ max{x₁, x₂, ..., x₁₉₉₀}.  Данное выражение не может равняться 1990, поскольку чётность этого выражения совпадает с чётностью суммы  x₁+x₂ + ... + x₁₉₉₀ = 1 + 2 + ... + 1990,  а эта сумма содержит 995 нечётных слагаемых.
  Пример. Заметим, что  ||||4k + 2| – (4k + 4)| – (4k + 5)| – (4k + 3)| = 0.  Поэтому
|...|||2 – 4| – 5| – 3| – ... – (4k + 2)| – (4k + 4)| – (4k + 5)| – (4k + 3)| – ... – 1986| – 1988| – 1989| – 1987| – 1990| – 1| = ||0 – 1990| – 1| = 1989.

Ответ

1989.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача