Условие
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что если
равны периметры треугольников ABC, BCD, CDA, DAB, то
ABCD - прямоугольник.
Подсказка
Составьте систему уравнений.
Решение
Обозначим стороны и диагонали четырехугольника x
1,
x
2, x
3, x
4, y
1,
y
2, как на рисунке.
Из условия следуют равенства
x
1+x
2+y
1=x
3+x
4+y
1,
x
2+x
3+y
2=x
1+x
4+y
2.
Складывая их друг с другом и вычитая одно из другого, получаем:
x
2=x
4,
x
1=x
3.
Следовательно, ABCD - параллелограмм.
Теперь из равенства
x
1+x
2+y
1=x
2+x
3+y
2=x
2+x
1+y
2
следует, что
y
1=y
2, то есть ABCD - прямоугольник.
Источники и прецеденты использования
