Задача 34995

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках С₁, С₂, сторону BС – в точках A₁, A₂, сторону СA – в точках B₁, B₂. Известно, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₁, B₁, A₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С₂, B₂, A₂, также пересекаются в одной точке.

Подсказка

Две указанные точки пересечения перпендикуляров симметричны относительно центра окружности.

Решение

Пусть P – точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках С₁, B₁, A₁, O – центр окружности, Q – точка, симметричная P относительно O Точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку С₁С₂, поскольку O равноудалена от точек С₁ и С₂. Пусть С' – середина отрезка С₁С₂. Рассмотрим угол, образованный прямыми С₁С₂ и PQ. На сторонах этого угла имеются по три точки – С₁, C', С₂ и P, O, Q, причём C' – середина С₁С₂ и O – середина PQ. Кроме того, прямые С₁P и C'O параллельны (обе перпендикулярны AB). Из теоремы Фалеса следует, что и С₂Q перпендикулярна AB. Это означает, что точка Q лежит на перпендикуляре к AB, восставленном в точке С₂. Аналогично Q лежит на перпендикуляре к BС, восставленном в точке A₂ и на перпендикуляре к СA, восставленном в точке B₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача