|
|
 |
Условие
На плоскости расположено n точек (n > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что среди треугольников с вершинами в данных точках остроугольные треугольники составляют не более трёх четвертей.
Подсказка
Из четырёх точек общего положения найдутся три, которые образуют тупоугольный или прямоугольный треугольник.
Решение
Будем перебирать всевозможные четвёрки точек и для каждой четвёрки определять число остроугольных и неостроугольных треугольников. Сложив количества остроугольных треугольников по всем четвёркам точек, получим некоторую сумму S. Таким же образом сложив количества неостроугольных треугольников по всем четвёркам точек, получим некоторую сумму s. Заметим, что из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, хотя бы три образуют тупоугольный или прямоугольный треугольник. В самом деле, если четыре точки A, B, C, D являются вершинами выпуклого четырёхугольника, то один из его углов не меньше 90° если же точки таковы, что одна из них, скажем, D, лежит внутри треугольника, образованного оставшимися тремя точками, то один из углов ADB, BDC, CDA тупой. Таким образом, один из треугольников ABC, BCD, CDA, DAB всегда является неостроугольным. Итак, каждая четвёрка точек дает вклад в сумму s, не меньший 1, а в сумму S – не больше 3. Отсюда следует, что S ≤ 3s. Поскольку каждая тройка вершин входит в n – 3 четвёрки, каждый треугольник посчитан в соответствующей сумме (S или s) ровно n – 3 раза. Таким образом, имеется S/n–3 остроугольных и s/n–3 неостроугольных треугольников. Следовательно, число остроугольных треугольников не более чем в 3 раза превосходит число неостроугольных, тем самым, число остроугольных треугольников составляет не более 3/4 от общего числа треугольников.
Замечания
При большем числе точек оценку можно улучшить. См. например, здесь.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
