Условие
Из круга S радиуса 1 вырезали круг S' радиуса 1/2, граница которого
проходит через центр исходного круга.
Определите, где находится центр тяжести полученной фигуры F.
Подсказка
Если "дыру" фигуры F заполнить, то центр тяжести переместится в
центр круга S.
Решение
Обозначим центры кругов S и S' через O и O' соответственно,
а центр тяжести фигуры F - через M.
Из симметрии следует, что M лежит на прямой OO'.
Если обозначить за 1 площадь круга S, то площадь круга S'
будет равна 1/4, а площадь фигуры F будет равна 3/4.
Введем на прямой OO' координаты, приняв за начало координат точку
O; за положительное направление примем направление луча OO'.
Точка O' при этом имеет координату 1/2.
Пусть точка M имеет координату m.
Согласно теореме о перегруппировке масс,
чтобы по положениям центров масс O' и M
фигур S' и F определить центр масс объединения
фигур S' и F, нужно приписать точке O' массу (= площадь) фигуры
S', а точке M - массу фигуры F, и далее найти центр массы
полученной системы из двух точечных масс.
Итак, пусть в точке O' с координатой 1/2 сосредоточена масса 1/4,
а в точке M с координатой m - масса 3/4.
Центр масс полученной системы находится в точке с координатой
((1/4)*(1/2)+(3/4)m)/((1/4)+(3/4))=1/8+(3/4)m.
Однако объединение фигур S' и F есть круг S c центром в начале
координат. Отсюда 1/8+(3/4)m=0 и m=-1/6.
Итак, центр тяжести фигуры F находится на прямой OO' вне луча OO'
на расстоянии 1/6 от точки O.
Источники и прецеденты использования
