Задача 35203

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90⁰. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным 2^1/2, один из которых содержит M, а другой - содержится в M.

Подсказка

Рассмотрим вершины многоугольника, наиболее удаленные от центра поворота, переводящего многоугольник в себя.

Решение

Рассмотрим центр O поворота, переводящего многоугольник в себя. Рассмотрим вершину A многоугольника, наиболее удаленную от O. Весь многоугольник содержится в круге S с центром O и радиусом R=OA. Вместе с точкой A вершинами многоугольника являются точки B, C, D, которые получаются из A поворотами на углы 90⁰, 180⁰, 270⁰ вокруг точки O. Точки A, B, C, D являются вершинами квадрата с центром O. Поскольку многоугольник выпуклый, весь квадрат ABCD принадлежит многоугольнику. Следовательно, вписанный в него круг s также содержится в многоугольнике. Радиус круга s равен r=OA/2^1/2=R/2^1/2. Как видим, круги S и s удовлетворяют условию задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача