Задача 35457

Темы:    [ Тригонометрические уравнения ] [ Математический анализ (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 11

Условие

Докажите, что уравнение  a₁ sin x + b₁ cos x + a₂ sin 2x + b₂ cos 2x + ... + a_n sin nx + b_n cos nx = 0  имеет хотя бы один корень при любых значениях a₁, b₁, a₂, b₂, ..., a_n, b_n.

Подсказка

Левая часть периодична с периодом 2π. Чему равно среднее значение левой части на отрезке  [0, 2π]?

Решение

Обозначим левую часть уравнения через f(x). Заметим, что    Поэтому функция f(x) на отрезке
[0, 2π]  принимает как неположительные, так и неотрицательные значения. В силу непрерывности f(x) имеет корень на этом отрезке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача