Условие
Пусть f(x) - некоторый многочлен, про который известно, что
уравнение f(x)=x не имеет корней.
Докажите, что тогда и уравнение f(f(x))=x не имеет корней.
Подсказка
Выведите из условия, что либо f(x)>x для любого x,
либо f(x)<x для любого x.
Решение
Из условия следует, что уравнение f(x)-x=0 не имеет решений.
Поскольку f(x)-x - непрерывная функция, то она либо всюду
положительна, либо всюду отрицательна, иначе она бы в некоторой точке
принимала значение 0 (по теореме о промежуточном значении).
Пусть f(x)-x всюду положительна. Это значит, что для любого x
выполнено неравенство f(x)>x.
Пусть f(x)=y. Тогда f(f(x))=f(y)>y=f(x)>x.
Таким образом, при любом x f(f(x))-x>0, т.е. уравнение
f(f(x))=x не имеет корней.
Аналогичным образом, показываем, что
уравнение f(f(x))=x не имеет корней и в том случае, когда
для любого x выполнено неравенство f(x)<x.
Источники и прецеденты использования
