Задача 52392

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Отрезки AB и CD — диаметры одной окружности. Из точки M этой окружности опущены перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки M.

Подсказка

Центр данной окружности и точки P, M, Q лежат на окружности, диаметр которой равен радиусу данной окружности.

Решение

Первый способ.

Если O — центр данной окружности, а R — её радиус, то точки P, M, Q, O лежат на окружности с диаметром MO = R. Поэтому

PQ = MO sinAOD = R sinAOD.

Второй способ.

Пусть X и Y — точки, симметричные точке M относительно прямых AB и CD соответственно. Тогда X и Y принадлежат данной окружности и PQ — средняя линия треугольника MXY. Поэтому XY = 2PQ, а XY — основание равнобедренного треугольника (с вершиной в центре окружности) с постоянными боковыми сторонами (радиусами окружности) и с постоянным углом между ними.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	54