Задача 52699

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что в выпуклый четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого равны между собой, можно вписать окружность.

Подсказка

1) На отрезке AB возьмите такую точку T, для которой AT = AD, а на отрезке BC — такую точку S, для которой CS = CD. Биссектрисы углов B, A и C являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника DTS.

2) Пусть AB + CD = BC + AD и прямые AB и CD пересекаются в точке M. Впишите окружность в треугольник AMB и докажите, что она вписана в данный четырёхугольник.

Решение

Первый способ.

Пусть AB + CD = BC + AD. Тогда AB - AD = BC - CD.

Если AB = AD, то BC = CD. Поэтому треугольники ABC и ADC равны по трём сторонам, значит, диагональ AC делит пополам углы BAD и BCD. Из равенства треугольников ABC и ADC и их соответствующих углов ABC и ADC следует, что биссектрисы этих углов пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали AC. Поскольку точка O лежит на биссектрисе каждого из углов четырёхугольника, то она равноудалена от всех его сторон. Следовательно, O — центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD.

Пусть теперь AB > AD. Тогда BC > CD.

На отрезке AB возьмём такую точку T, для которой AT = AD, а на отрезке BC — такую точку S, для которой CS = CD. Поскольку

AT = AD, CS = CD, BT = AB - AT = AB - AD = BC - CD = BC - CS = BS,

то треугольники TBS, ADT и CDS — равнобедренные. Биссектрисы их углов при вершинах B, A и C являются серединными перпендикулярами к отрезкам TS, DT и DS соответственно, т.е. серединными перпендикулярами к сторонам треугольника DTS. Поэтому биссектрисы углов B, A и C пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника DTS. Эта точка равноудалена от всех сторон четырёхугольника ABCD. Следовательно, она является центром вписанной окружности четырёхугольника ABCD.

Аналогично для AB < AD.

Второй способ.

Пусть AB + CD = BC + AD и прямые AB и CD пересекаются в точке M. Впишем окружность в треугольник AMB. Пусть она полностью содержится в четырёхугольнике ABCD. Докажем, что она касается BC.

Если это не так, то проведём через точку B касательную к окружности, пересекающую CD в точке C₁. Тогда

AB + CD = BC + AD и AB + C₁D = BC₁ + AD.

Вычитая почленно эти равенства, получим:

CC₁ + BC₁ = BC,

что противоречит неравенству треугольника.

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	364