ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 52826
УсловиеВ треугольнике ABC известно, что BAC = 75o, AB = 1, AC = . На стороне BC выбрана точка M, причём BAM = 30o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.
ПодсказкаОбозначьте AN через x, выразите BN и CN через радиус описанной окружности треугольника ABC и примените теорему косинусов к треугольникам ABN и ACN (или воспользуйтесь теоремой Птолемея).
Решение
Первый способ.
Пусть AN = x, R — радиус описанной окружности треугольника. Тогда
BN = 2R sin 30o = R, CN = 2R sin 45o = R.
По теореме косинусов из треугольников ABN и ACN находим, что
BN2 = R2 = AB2 + AN2 - 2AB . AN cos 30o = 1 + x2 - x,
CN2 = 2R2 = 6 + x2 - 2x . = 6 + x2 - 2x.
Из полученной системы уравнений находим, что x2 = 4.
Следовательно,
AN = x = 2.
Второй способ.
Пусть R — радиус окружности. Во вписанном четырёхугольнике ABNC имеем:
DN = 2R sin 30o = R, CN = 2R sin 45o = R, DC = 2R sin 75o.
По теореме Птолемея
AB . CN + AC . BN = AN . BC, или R + R = AN . 2R sin 75o.
Следовательно,
AN = = = 2.
Ответ2.00Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|