ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52826
Темы:    [ Теорема косинусов ]
[ Теорема синусов ]
[ Теорема Птолемея ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что $ \angle$BAC = 75o, AB = 1, AC = $ \sqrt{6}$. На стороне BC выбрана точка M, причём $ \angle$BAM = 30o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.


Подсказка

Обозначьте AN через x, выразите BN и CN через радиус описанной окружности треугольника ABC и примените теорему косинусов к треугольникам ABN и ACN (или воспользуйтесь теоремой Птолемея).


Решение

Первый способ.

Пусть AN = x, R — радиус описанной окружности треугольника. Тогда

BN = 2R sin 30o = RCN = 2R sin 45o = R$\displaystyle \sqrt{2}$.

По теореме косинусов из треугольников ABN и ACN находим, что

BN2 = R2 = AB2 + AN2 - 2AB . AN cos 30o = 1 + x2 - x$\displaystyle \sqrt{3}$,

CN2 = 2R2 = 6 + x2 - 2$\displaystyle \sqrt{6}$x . $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = 6 + x2 - 2x$\displaystyle \sqrt{3}$.

Из полученной системы уравнений находим, что x2 = 4. Следовательно, AN = x = 2.

Второй способ.

Пусть R — радиус окружности. Во вписанном четырёхугольнике ABNC имеем:

DN = 2R sin 30o = RCN = 2R sin 45o = R$\displaystyle \sqrt{2}$DC = 2R sin 75o.

По теореме Птолемея

AB . CN + AC . BN = AN . BC, или R$\displaystyle \sqrt{2}$ + R$\displaystyle \sqrt{6}$ = AN . 2R sin 75o.

Следовательно,

AN = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\sin 75^{\circ }}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\cdot \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}}$ = 2.


Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 492

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .