Задача 52898

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC  AC = 16,   BC = 12.  Из центра B радиусом BC описана окружность и к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе AB (касательная и треугольник лежат по разные стороны от гипотенузы). Катет BC продолжен до пересечения с проведённой касательной. Определите, на сколько продолжен катет.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Пусть M – точка касания, K – точка пересечения касательной с продолжением катета CB.  AB² = CB² + CA² = 144 + 256 = 400.
  Треугольники BMK и ACB подобны, поэтому  BK : BM = AB : AC.  Следовательно,  BK = 20·16 : 12 = 15.

Ответ

15.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	565