Информация о задаче

Задача 52984

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне угла с вершиной O взяты точки A и B (A между O и B), причём OA = 3AB. Через точки A и B проведена окружность, касающаяся другой стороны угла в точке D. На луче OD взята точка E (D — между O и E). Известно, что OE = m, $\angle$ BOE = $\alpha$ , $\angle$ BEO = $\beta$ . Найдите радиус окружности.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей, теоремы синусов и косинусов. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, найдите по формуле R = ${\frac{AD}{2\sin \angle ABD}}$ .

Решение

Обозначим AB = x, AO = 3x, $\angle$ ODA = $\angle$ OBD = $\gamma$ . Тогда

OD² = OB^.OA = 12x², AD² = 3x²(7 - 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ cos $\displaystyle \alpha$ ),

sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{3x\sin \alpha}{AD}}$ , x = $\displaystyle {\frac{\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}}$ .

Следовательно, искомый радиус равен

$\displaystyle {\frac{AD}{2\sin \gamma}}$ = $\displaystyle {\frac{2m(7 - 4\sqrt{3}\cos \alpha)\sin \beta}{\sin \alpha \sin (\alpha + \beta)}}$ .

Ответ

${\frac{2m(7 - 4\sqrt{3}\cos \alpha)\sin \beta}{\sin \alpha \sin (\alpha + \beta)}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	651