Задача 53465

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят прямой угол на три равные части.

Решение

  Пусть CH и CM – высота и медиана прямоугольного треугольника ABC, проведённые из вершины прямого угла C,  ∠A = 30°.  Каждый из углов HCB и HAC в сумме с углом ACH составляют 90°, поэтому  ∠HCB = ∠HAC = ∠A = 30°.
  С другой стороны, в равнобедренном треугольнике AMC углы при основании AC равны, поэтому  ∠ACM = ∠CAM = ∠A = 30°.
  Значит,  ∠HCM = ∠ACB – ∠HCB – ∠ACM = 30°.
  Следовательно,  ∠BCH = ∠HCM = ∠MCA.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1194