Задача 53759

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма.
Найдите сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны l и m.

Подсказка

Выразите сначала с помощью одной, а затем – другой диагонали параллелограмма отношение, в котором вершина ромба делит одну из сторон параллелограмма.

Решение

  Пусть вершины M, N, K и L ромба KLMN находятся на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD,  AC = l,  BD = m,  MN || AC,
NK || BD.  Обозначим через x сторону ромба.
  Из подобия треугольников MBN и ABC следует, что  BN : BC = x : l.  Поэтому  ^CN/_BC = ^l–x/_l.  Из подобия треугольников NCK и BCD следует, что
CN : BC = x : m.  Значит,  ^l–x/_l = ^x/_m.
  Отсюда  x = ^ml/_m+l.

Ответ

^ml/_m+l.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1523