Задача 53889

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки подобия ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Авторы: Савин А.П., Паравян Н.А.

На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём  AE : EB = 1 : 2,  а  CF = FD.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?

Подсказка

В каждом из указанных треугольников найдите отношение сторон, заключающих угол в 45°.

Решение

  Заметим, что  ∠NCF = ∠EAM = 45°.

  Первый способ. Из подобия треугольников CNF и ANB следует, что  CN = ¹/₃ AC,  а из подобия треугольников CMD и AME –  AM = ¼ AC.
  Если сторона квадрата ABCD равна 6, то CF = 3,  AE = 2,  AC = 6,  CN = 2,  AM = ³/₂.  Поэтому  AM : AE = CF : CN,  и треугольники CNF и AEM подобны.

  Второй способ.  tg∠NFC = tg∠BFC = 2,  tg∠AEM = tg∠AED = 3,  tg∠NCF = tg 45° = 1.  Поэтому  tg∠CNF = – tg(∠NCF + ∠NFC) = – = 3.
  Следовательно,  ∠CNF = ∠AEM,  и треугольники CNF и AEM подобны по двум углам.

Ответ

Будут.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1654