Задача 54119

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Целочисленные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

BB₁ и CC₁ – медианы треугольника ABC. На продолжении медианы CC₁ за точку C₁ отложен отрезок C₁C₂, равный ¹/₃ CC₁. Оказалось, что  C₂B₁ = AB₁.  Докажите, что медианы CC₁ и BB₁ взаимно перпендикулярны.

Решение

  Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  CM = ²/₃ CC₁,  MC₁ = ¹/₃ CC₁ = C₁C₂,  C₂M = ²/₃ CC₁ = CM,  то есть B₁M – средняя линия треугольника ACC₁.
  C₂B₁ – медиана треугольника AC₂C, равная половине стороны AC. Следовательно, угол AC₂C – прямой. Следовательно,  B₁M || AC₂ ⊥ CC₂,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1882