Задача 54360

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Квадрат ABCD и окружность расположены так, что окружность касается прямой AC в точке C, а центр окружности лежит по ту же сторону от прямой AC, что и точка D. Касательные к окружности, проведённые из точки D образуют угол 120°. Найдите отношение площади квадрата к площади круга, ограниченного данной окружностью.

Подсказка

С помощью теоремы косинусов выразите радиус окружности через сторону квадрата из треугольника DOC, где O – центр окружности.

Решение

  Обозначим сторону квадрата через a, радиус окружности – через r. Пусть O – центр окружности, P – точка касания окружности с одной из касательных, проведённых через точку D. Из прямоугольного треугольника DPO находим  DO =
  По теореме косинусов  DO² = CO² + CD² – 2CO·CD cos 45°,  или  ⁴/₃ r² = r² + a² – ar.  Отсюда  r = ,  а искомое отношение
^a²/_πr² = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2123