Задача 54397

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол B – прямой, медианы AD и BE взаимно перпендикулярны. Найдите угол C.

Решение

  Пусть O – точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим  OE = a,  OD = b.  Тогда   BO = 2a,  AO = 2b,  AB² = OB² + OA² = 4(a² + b²),
AD² = DB² + AB², или  9b² = b² + 4a² + 4a² + 4b².   Отсюда  b = a.
  Следовательно,  tg∠C = tg∠OBD = ^b/_2a = .

Ответ

arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2160