Информация о задаче

Задача 54418

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC расположен прямоугольник EKMP так, что сторона EK лежит на гипотенузе BC, а вершины M и P — на катетах AC и AB соответственно. Катет AC равен 3, а катет AB равен 4. Найдите стороны прямоугольника EKMP, если его площадь равна ${\frac{3}{5}}$ , а периметр меньше 9.

Подсказка

Обозначьте PE = MK = x и выразите через x отрезки EB и CK.

Решение

Из условия задачи следует, что

BC = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}+ AB^{2}}$ = 5, tg $\displaystyle \angle$ B = tg $\displaystyle \angle$ CMK = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ .

Обозначим MK = PE = x. Поскольку S_MPEK = ${\frac{5}{3}}$ , то MP = KE = ${\frac{5}{3x}}$ .

Из прямоугольных треугольников PEB и CKM находим, что

BE = $\displaystyle {\frac{PE}{{\rm tg }\angle B}}$ = $\displaystyle {\frac{4x}{3}}$ , CK = MKtg $\displaystyle \angle$ CMK = $\displaystyle {\frac{3x}{4}}$ .

Поскольку CK + KE + EB = CB, то

$\displaystyle {\frac{3x}{4}}$ + $\displaystyle {\frac{5}{3x}}$ + $\displaystyle {\frac{4x}{3}}$ = 5.

Из этого уравнения находим, что x = 2 или x = ${\frac{2}{5}}$ . Второе решение не удовлетворяет условию P_EKMP < 9. Следовательно,

PE = MK = 2, MP = KE = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{6}}$ .

Ответ

2, ${\frac{5}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2182