Задача 54454

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  AB = AC,  угол A – тупой, BD – биссектриса, AM – высота, E – основание перпендикуляра, опущенного из D на сторону BC. Из точки D восставлен перпендикуляр к BD, который пересекает сторону BC в точке F. Известно, что  ME = FC = a.  Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

  Обозначим  ∠DBC = α  (см. рис.). Тогда  ∠C = ∠B = 2α.  Пусть K – середина отрезка BF. Тогда DK – медиана прямоугольного треугольника BDF. Значит,
BK = KD = KF,  ∠DKC = 2∠DBK = 2α = ∠C.

  Поэтому треугольник CDK – равнобедренный. Его высота DE является медианой, значит,  KM + ME = EF + FC,  то есть  KM = EF.
  Следовательно,  2KM + a = KF = BK = BM – KM = MC – KM = 2a,  откуда  KM = ^a/₂,  KC = 3a,  BC = 5a,  BE = ^7a/₂,  DE² = BE·EF = ^7a²/₄.
Поскольку треугольники ABC и DKC подобны, то  

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2218