Задача 54455

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC угол ACB – прямой. Пусть E – точка пересечения биссектрисы угла ABC со стороной AC. Точка D – середина стороны AB,  O – точка пересечения отрезков BE и CD. Через точку O проведён перпендикуляр к BO до пересечения со стороной BC в точке F. Известно, что
FC = b,  OC = ^3b/₂.  Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Проведите медиану OL треугольника OCF.

Решение

  Проведём медиану OL прямоугольного треугольника OCF. Тогда  OL = FL = LB,  ∠OLB = 2∠OBL = ∠B = ∠BCD.  Значит,  OF || AB,  а треугольник COF – равнобедренный (см. рис.). Следовательно,  OF = OC = ^3b/₂,  BF = 3b,  BC = 4b,  CL = ^5b/₂.

  По теореме Фалеса  CD = ^BC/_CL·OC = ^12b/₅,  AB = 2CD = ^24b/₅,  AC² = AB² – BC² = ^16·11b²/₂₅,   S_ABC = ½ BC·AC = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2219