Информация о задаче

Задача 54493

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике известны стороны: AB = 15, BC = 13 и AC = 14. Через точку C проведён перпендикуляр к стороне AC до пересечения в точке K с продолжением стороны AB. Найдите BK и CK.

Подсказка

Найдите высоту BP треугольника ABC.

Решение

Заметим, что треугольник ABC — остроугольный. Пусть P — проекция вершины B на сторону AC. Обозначим CP = x. Тогда AP = 14 - x, а т.к.

BC² - CP² = AB² - AP²,

то x является корнем уравнения

196 - x² = 225 - (14 - x)²,

т.е. x = 5.

Обозначим $\angle$ CBP = $\alpha$ , $\angle$ ABP = $\beta$ . Тогда

sin $\displaystyle \angle$ KCB = sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{CP}{BC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{13}}$ , sin $\displaystyle \angle$ CPB = sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{AP}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{15}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{5}}$ .

Из треугольника CBK по теореме синусов находим, что

BK = $\displaystyle {\frac{BC \sin \alpha}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{3}}$ .

По теореме Пифагора

CK = $\displaystyle \sqrt{(AB + BK)^{2}- AC^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{56}{3}}$ .

Ответ

${\frac{25}{3}}$ и ${\frac{56}{3}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2257