Задача 55156

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин больше половины периметра.

Подсказка

Примените неравенство треугольника.

Решение

Пусть d₁, d₂, d₃ — расстояния от точки M, взятой внутри треугольника со сторонами a, b, c, до вершин этого треугольника. Тогда

d₁ + d₂ > c, d₁ + d₃ > b, d₂ + d₃ > a.

Сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2(d₁ + d₂ + d₃) > a + b + c.

Отсюда следует, что

d₁ + d₂ + d₃ > .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3510