Задача 55162

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник. Докажите, что  AB + CD < AC + BD.

Подсказка

Пусть M – точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Рассмотрите треугольники AMB и CMD.

Решение

Пусть M – точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Тогда  AB < AM + BM,   CD < CM + DM.
Сложив эти неравенства, получим   AB + CD < AM + BM + CM + DM = (AM + CM) + (BM + DM) = AC + BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3516
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	3
Название	Сумма длин диагоналей четырехугольника
Тема	Сумма длин диагоналей четырехугольника
задача
Номер	09.014