Задача 55264

Темы:    [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Подсказка

Выразите по теореме косинусов квадраты диагоналей из соответствующих треугольников и сложите почленно полученные равенства.

Решение

Пусть AC и BD — диагонали параллелограмма ABCD. По теореме косинусов из треугольников ABD и ACD находим, что

BD² = AB² + AD² - 2AB ^. AD cosBAD,

AC² = AD² + CD² - 2AD ^. CD cosADC =

= AD² + CD² - 2AD ^. CD cos(180^o - BAD) =

= AD² + CD² + 2AD ^. CD cosBAD.

Следовательно,

BD² + AC² = 2 ^. AB² + 2 ^. AD².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4011