Информация о задаче

Задача 55507

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две параллельные прямые на расстоянии, равном 15, одна от другой; между ними дана точка M на расстоянии, равном 3, от одной из них. Через точку M проведена окружность, касающаяся обеих прямых. Найдите расстояние между проекциями центра и точки M на одну из данных прямых.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из точки M на радиус окружности, проведённый в одну из точек касания.

Решение

Пусть A и B — проекции точки M и центра O окружности на одну из прямых, причём MA = 3. Тогда OB — радиус окружности и OB = ${\frac{15}{2}}$ .

Пусть P — проекция точки M на OB. В прямоугольном треугольнике MPO известно, что

MO = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ , OP = OB - PB = OB - MA = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ - 3 = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$ .

Следовательно,

AB² = MP² = MO² - OP² = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{15}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{15}{2}}\right)^{2}_{}$ - $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{9}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{9}{2}}\right)^{2}_{}$ = 36.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4830