Информация о задаче

Задача 55674

Темы:	[	Симметрия и построения	]
Темы:	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

В интервале (0; $\pi$ ) дано n чисел: $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ , при этом $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = $\pi$ (n - 2). С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность n-угольник, внутренние углы которого равны соответственно $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ . Когда построение возможно?

Подсказка

Задача сводится к построению вписанного в данную окружность n-угольника, стороны которого соответственно параллельны n данным прямым.

Решение

Предположим, что нужный многоугольник A₁A₂...A_n построен. Пусть $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ — величины углов при его вершинах A₁, A₂, ..., A_n соответственно. Через центр O данной окружности проведём прямые l₁, l₂, ..., l_n, соответственно перпендикулярные сторонам A₁A₂, A₂A₃, ..., A_nA₁. Тогда углы между прямыми l_n и l₁, l₁ и l₂, ..., l_{n - 1} и l_n соответственно равны $\pi$ - $\alpha_{1}^{}$ , $\pi$ - $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\pi$ - $\alpha_{n}^{}$ , а их сумма равна $\pi$ n - $\pi$ (n - 2) = 2 $\pi$ .

При композиции осевых симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n вершина A₁ переходит в себя.

Если n нечётно, то такая композиция есть симметрия относительно некоторой прямой l, а точка A₁ (неподвижная точка этой симметрии) лежит на оси симметрии. В этом случае годится следующее построение.

Через центр O данной окружности проводим прямые l₁, l₂, ..., l_n, последовательно образующие между собой углы $\pi$ - $\alpha_{2}^{}$ , $\pi$ - $\alpha_{3}^{}$ , ..., $\pi$ - $\alpha_{n}^{}$ , $\pi$ - $\alpha_{1}^{}$ . Строим образ M₁ произвольной точки M данной окружности при композиции симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n. Серединный перпендикуляр к отрезку MM₁ пересекает окружность в искомой вершине A₁.

Остальные вершины искомого n-угольника строятся с помощью симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_{n - 1}. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до движения).

Если же n чётно, то композиция симметрий относительно прямых l₁, l₂, ..., l_n есть поворот на угол

2( $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ ) + 2( $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ ) +...+ 2( $\displaystyle \pi$ - $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ ) = $\displaystyle \pi$ n - 2( $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ )

вокруг точки O. Поскольку при этом повороте точка A₁, отличная от центра O поворота, остается на месте, то это тождественное преобразование. Поэтому

$\displaystyle \pi$ n - 2( $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ ) = 2 $\displaystyle \pi$ ,

т.е.

$\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ = $\displaystyle {\frac{\pi(n-2)}{2}}$ .

Тогда

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n-1}^{}$ = $\displaystyle \pi$ (n - 2) - $\displaystyle {\frac{\pi(n-2)}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi(n-2)}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n-1}^{}$ = $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ ,

и задача имеет бесконечно много решений. В качестве вершины A₁ можно взять любую точку окружности.

Если

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n-1}^{}$ $\displaystyle \ne$ $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{4}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ ,

то решений нет.

Ответ

Построение возможно: при нечётном n — всегда, при чётном — при условии, что

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5134