Задача 55690

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

Подсказка

Рассмотрите образы точек A и M при параллельном переносе на вектор и воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе на вектор точка A перейдёт в некоторую точку A₁, а точка M — в точку N. Тогда

AM + MN + NB = AA₁ + A₁N + NB AA₁ + A₁B

(неравенство треугольника), причём равенство достигается, если точки A₁, N и B лежат на одной прямой, т.е. BN || AM.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Отложим от точки A отрезок AA₁, по величине равный ширине реки и перпендикулярный к её направлению, соединим точку A₁ с точкой B. Точка N, полученная при пересечении A₁B с более близким к B берегом реки, определит положение моста.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5504
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	1
Название	Перенос помогает решить задачу
Тема	Перенос помогает решить задачу
задача
Номер	15.001