Задача 55711

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Монжа..

Условие

Докажите, что прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. При симметрии относительно точки пересечения диагоналей этого параллелограмма рассматриваемые перпендикуляры переходят в серединные перпендикуляры к сторонам данного четырёхугольника. Поскольку данный четырёхугольник вписанный, то эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Следовательно, рассматриваемые перпендикуляры также пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5706