Задача 55755

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Авторы: Агаханов Н.Х., Нецветаев Н., Терешин Д.А., Фомин А.

На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен ^180°/_2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.

Подсказка

На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, равные BA. Точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника. Рассмотрите поворот на угол ^360°/_2n вокруг точки E.

Решение 1

   Пусть O — центр вневписанной окружности треугольника KBN, касающейся стороны KN. Отрезок KN виден из точки O под углом
90° – ¹/₂ ∠B  = ^180°/_2n (см. задачу 55448). Но на биссектрисе BE угла B, очевидно, есть только одна точка, из которой отрезок KN виден под указанным углом, и по условию это — точка E. Следовательно, точки O и E совпадают и NE — биссектриса внешнего угла KNC треугольника KBN.

Решение 2

  На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, равные BA. Поскольку  ∠A₁BC₁ = ∠ABC  и  A₁B = C₁B,  то точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника, причём точка E – центр этого 2n-угольника.
  При повороте на угол ^360°/_2n вокруг точки E точка A₁ перейдёт в точку B, точка B — в C₁, а точка K – в некоторую точку K₁ отрезка CC₁. Тогда
EK₁ = EK,  а   ∠NEK₁ = ∠KEK₁ – ∠KEN  = ^360°/_2n – ^180°/_2n = ^180°/_2n = ∠KEN.   Поэтому треугольники NEK₁ и NEK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠KNE = ∠K₁NE = ∠CNE,  то есть NE – биссектриса угла KNC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6039