Задача 56918

Тема:    [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть A₂, B₂ и C₂ — середины сторон BC, CA и AB. Рассматриваемые прямые проходят через вершины треугольника A₂B₂C₂, причем в задаче а) они делят его стороны в таких же отношениях, в каких прямые AP, BP и CP делят стороны треугольника ABC, а в задаче б) они делят их в обратных отношениях. Остается воспользоваться теоремой Чевы.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.073