Задача 57086

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного n-угольника на любую прямую равна  ½ na²,  где a – сторона n-угольника.

Решение

Пусть x – единичный вектор, параллельный прямой l,  e_i = .  Тогда квадрат длины проекции стороны A_iA_i+1 на прямую l равен  (x, e_i)².  Согласно задаче 57083  (x, e_i)² = ½ na².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.073