Условие
Вписанный многоугольник разбит непересекающимися
диагоналями на треугольники. Докажите, что сумма радиусов всех
вписанных в эти треугольники окружностей не зависит от разбиения.
Решение
Пусть
ABC — треугольник, вписанный в окружность
S.
Обозначим расстояния от центра
O окружности до сторон
BC,
CA
и
AB через
a,
b и
c соответственно. Тогда
R +
r =
a +
b +
c, если
точка
O лежит внутри треугольника
ABC, и
R +
r = -
a +
b +
c, если
точки
O и
A лежат по разные стороны от прямой
BC (см. задачу
12.38).
Каждая из диагоналей разбиения принадлежит двум треугольникам
разбиения. Для одного из этих треугольников точка
O и оставшаяся
вершина лежат по одну сторону от диагонали, для другого — по разные
стороны. Разбиение
n-угольника непересекающимися диагоналями на
треугольники состоит из
n - 2 треугольников. Поэтому
сумма
(
n - 2)
R +
r1 + ... +
rn - 2 равна сумме расстояний от точки
O до
сторон
n-угольника (расстояния до сторон берутся с
соответствующими знаками). Из этого видно, что
сумма
r1 + ... +
rn - 2 не зависит от разбиения.
Источники и прецеденты использования
