Информация о задаче

Задача 57413

Тема:

[

Неравенства с медианами

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что m_a² + m_b² + m_c² $\leq$ 27R²/4.
б) Докажите, что m_a + m_b + m_c $\leq$ 9R/2.

Решение

а) Пусть M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда AO² + BO² + CO² = ( $\overrightarrow{AM}$ + $\overrightarrow{MO}$ )² + ( $\overrightarrow{BM}$ + $\overrightarrow{MO}$ )² + ( $\overrightarrow{CM}$ + $\overrightarrow{MO}$ )² = AM² + BM² + CM² + 2( $\overrightarrow{AM}$ + $\overrightarrow{BM}$ + $\overrightarrow{CM}$ , $\overrightarrow{MO}$ ) + 3MO². Так как $\overrightarrow{AM}$ + $\overrightarrow{BM}$ + $\overrightarrow{CM}$ = $\overrightarrow{0}$ , то AO² + BO² + CO² = AM² + BM² + CM² + 3MO² $\geq$ AM² + BM² + CM², т. е. 3R² $\geq$ 4(m_a² + m_b² + m_c²)/9.
б) Достаточно заметить, что (m_a + m_b + m_c)² $\leq$ 3(m_a² + m_b² + m_c²) (см. приложение к гл. 9).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	1
Название	Медианы
Тема	Неравенства с медианами
задача
Номер	10.005