Задача 57650

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Центры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах AD и BC прямоугольника ABCD. Эти окружности касаются друг друга и прямых AB и CD так, как показано на рис. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой AB.

Решение

Пусть x — радиус окружности S, касающейся окружностей S₁ и S₂ и луча AB, y — радиус окружности S', касающейся окружностей S₂ и S₃ и луча BA. Положение окружности, касающейся окружности S₁ и луча AB (соответственно S₃ и луча BA) однозначно определяется ее радиусом, поэтому достаточно проверить, что x = y.
Приравнивая два выражения для квадрата расстояния от центра окружности S до прямой AD, получаем  (x + 1)² - (x - 1)² = (3 + x)² - (5 - x)², т. е. x = 4/3.
Рассматривая окружности S₂ и S₃, легко проверить, что  AB² = (3 + 4)² - 1² = 48. С другой стороны, квадраты расстояний от центра окружности S' до прямых AD и BC равны  (y + 3)² - (5 - y)² = 16(y - 1) и  (4 + y)² - (4 - y)² = 16y соответственно. Следовательно,  4 + 4 = , т. е. y = 4/3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	8
Название	Окружности
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.067