Задача 57796

Тема:    [ Трилинейные координаты ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Условие

Продолжения сторон выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точках P и Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис внешних углов при вершинах A и C, B и D, P и Q лежат на одной прямой.

Решение

Рассмотрим прямые l₁ = AB, l₂ = BC, l₃ = CD и l₄ = AD. Пусть x_i — расстояние от точки X до прямой l_i с учетом знака (если точка X и четырехугольник ABCD лежат по одну сторону от прямой l_i, то знак положителен). Таким образом, (x₁ : x₂ : x₃) — трилинейные координаты точки X относительно треугольника, образованного прямыми l₁, l₂, l₃.
Биссектрисы внешних углов при вершинах A и C задаются уравнениями x₁ + x₄ = 0 и x₂ + x₃ = 0; при вершинах B и D — уравнениями x₁ + x₂ = 0 и x₃ + x₄ = 0; при вершинах P и Q — уравнениями x₁ + x₃ = 0 и x₂ + x₄ = 0. Поэтому остается лишь проверить, что уравнение x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0 задает прямую.
Если в прямоугольной системе координат прямая l_i задается уравнением x cos + y sin = d, то x_i = ±(x cos + y sin - d ). Поэтому x₁, x₂, x₃, x₄ линейно выражаются через x и y.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.039