Задача 57824

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

а) Даны окружности S₁ и S₂, пересекающиеся в точках A и B. Проведите через точку A прямую l так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри окружностей S₁ и S₂, имел данную длину.
б) Впишите в данный треугольник ABC треугольник, равный данному треугольнику PQR.

Решение

а) Проведем через точку A прямую PQ (P лежит на окружности S₁, Q — на окружности S₂). Опустим из центров O₁ и O₂ окружностей S₁ и S₂ перпендикуляры O₁M и O₂N на прямую PQ. Перенесем отрезок MN параллельно на вектор . Пусть C — образ точки N при этом переносе.
Треугольник O₁CO₂ прямоугольный и  O₁C = MN = PQ/2. Следовательно, чтобы построить прямую PQ, для которой PQ = a, нужно построить треугольник O₁CO₂ с заданной гипотенузой O₁O₂ и катетом O₁C = a/2, а затем провести через точку A прямую, параллельную O₁C.
б) Достаточно решить обратную задачу: описать вокруг данного треугольника PQR треугольник, равный данному треугольнику ABC. Предположим, что мы построили треугольник ABC, стороны которого проходят через данные точки P, Q и R. Построим дуги окружностей, из которых отрезки RP и QP видны под углами A и B соответственно. Точки A и B лежат на этих дугах, причем длина отрезка AB известна. Согласно задаче а) можно построить прямую AP, проходящую через точку P, отрезок которой, заключенный внутри окружностей S₁ и S₂, имеет данную длину. Проводя прямые AR и BQ, получаем треугольник ABC, равный данному треугольнику, так как у этих треугольников по построению равны сторона и прилегающие к ней углы.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	2
Название	Построения и геометрические места точек
Тема	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек
задача
Номер	15.012